Kurvendiskussion

Kurvendiskussion

Gebrochen rationale Funktionen

Funktionen der Form , bei denen p(x) und q(x) Polynomfunktionen sind, heißen

gebrochen rationale Funktionen.

Sie sind an den Nullstellen des Nennerpolynoms q(x) nicht definiert.

Ist x0 Nullstelle von p(x) und auch von q(x), so lässt sich der Funktionsterm von f durch (x - x0) kürzen.

Ist der Funktionsterm von f vollständig gekürzt, so liegen bei den Nullstellen des Nennerpolynoms Polstellen ( auch „Unendlichkeitsstellen“ genannt) vor.

Zahlenbeispiel:

An der Stelle x = 2 liegt weder eine Nullstelle, noch eine Polstelle vor, weil wir kürzen können.

An den Stellen x1 = -7 und x2 = 0 liegen Nullstellen (mit Vorzeichenwechsel) vor;

an der Stelle x2 = -2 liegt eine Polstelle (mit Vorzeichenwechsel) vor.

An der Polstelle liegt eine senkrechte Asymptote vor, für  |x| → ∞   erhalten wir eine schräge

Asymptote, hier die Gerade mit y = x + 5. (Polynomdivision!)

Differenzierbarkeit

Die Steigung m des Graphen von f im Punkt P(x0;y0) erhält man als Grenzwert der Sekantensteigungen 0 geht.

(In der Skizze ist die Sekante für x = 4 eingezeichnet)

Falls der Grenzwert 0 differenzierbar und man nennt diesen Grenzwert den Differentialquotienten f '(x0).

Ableitungsfunktion

Die Funktion f ' , die jedem x0 den Differentialquotienten f '(x0) zuordnet, heißt Ableitungsfunktion

f ' . Als Buchstaben für die Variable nimmt man meist wieder x, also:

Ableitungsfunktion f ':x ↦ f '(x)

Stammfunktion

Die Funktion F heißt Stammfunktion zu f, wenn im gesamten Definitionsbereich gilt: F'(x) = f (x) .

Ableitung der Grundfunktionen

Ableitungsregeln

Summenregel

Faktorregel

Produktregel

Quotientenregel

Kettenregel

Monotonie

Extremalpunkte

f '(x) < 0   ⇒ der Graph von f fällt an der Stelle x.

f '(x) = 0   ⇒ der Graph von f hat an der Stelle x eine waagrechte Tangente.

f '(x) > 0   ⇒ der Graph von f steigt an der Stelle x.

Folglich hat f bei einem Vorzeichenwechsel von f ' ein Extremum.

( von + nach - ein Maximum und bei Wechsel von - nach + ein Minimum)

Anmerkung zum Newton-Verfahren zur näherungsweisen Bestimmung von Nullstellen:

Ist xn ein Näherungswert für die Nullstelle von f, so liefert der Schnittpunkt der Tangente an f im Punkt xn mit der x-Achse einen besseren Näherungswert xn+1.

Ableitung der Exponential- und Logarithmusfunktion

Bei Verwendung der Basis e, wobei e=2,71828… lassen sich Ableitungsfunktion und

Stammfunktion besonders leicht angeben.

Wegen  

und somit   e ln x = x    und   ln( ex ) = x  .