Funktionen der Form , bei denen p(x) und q(x) Polynomfunktionen sind, heißen
gebrochen rationale Funktionen.
Sie sind an den Nullstellen des Nennerpolynoms q(x) nicht definiert.
Ist x0 Nullstelle von p(x) und auch von q(x), so lässt sich der Funktionsterm von f durch (x - x0) kürzen.
Ist der Funktionsterm von f vollständig gekürzt, so liegen bei den Nullstellen des Nennerpolynoms Polstellen ( auch „Unendlichkeitsstellen“ genannt) vor.
Zahlenbeispiel:
An der Stelle x = 2 liegt weder eine Nullstelle, noch eine Polstelle vor, weil wir kürzen können.
An den Stellen x1 = -7 und x2 = 0 liegen Nullstellen (mit Vorzeichenwechsel) vor;
an der Stelle x2 = -2 liegt eine Polstelle (mit Vorzeichenwechsel) vor.
An der Polstelle liegt eine senkrechte Asymptote vor, für |x| → ∞ erhalten wir eine schräge
Asymptote, hier die Gerade mit y = x + 5. (Polynomdivision!)
Die Steigung m des Graphen von f im Punkt P(x0;y0) erhält man als Grenzwert der Sekantensteigungen 0 geht.
(In der Skizze ist die Sekante für x = 4 eingezeichnet)
Falls der Grenzwert 0 differenzierbar und man nennt diesen Grenzwert den Differentialquotienten f '(x0).
Die Funktion f ' , die jedem x0 den Differentialquotienten f '(x0) zuordnet, heißt Ableitungsfunktion
f ' . Als Buchstaben für die Variable nimmt man meist wieder x, also:
Ableitungsfunktion f ':x ↦ f '(x)
Die Funktion F heißt Stammfunktion zu f, wenn im gesamten Definitionsbereich gilt: F'(x) = f (x) .
Extremalpunkte
f '(x) < 0 ⇒ der Graph von f fällt an der Stelle x.
f '(x) = 0 ⇒ der Graph von f hat an der Stelle x eine waagrechte Tangente.
f '(x) > 0 ⇒ der Graph von f steigt an der Stelle x.
Folglich hat f bei einem Vorzeichenwechsel von f ' ein Extremum.
( von + nach - ein Maximum und bei Wechsel von - nach + ein Minimum)
Anmerkung zum Newton-Verfahren zur näherungsweisen Bestimmung von Nullstellen:
Ist xn ein Näherungswert für die Nullstelle von f, so liefert der Schnittpunkt der Tangente an f im Punkt xn mit der x-Achse einen besseren Näherungswert xn+1.
Bei Verwendung der Basis e, wobei e=2,71828… lassen sich Ableitungsfunktion und
Stammfunktion besonders leicht angeben.
Wegen
und somit e ln x = x und ln( ex ) = x .