Trigonometrie

Trigonometrie

Einheitskreis

Sinus und Kosinus lassen sich auch für beliebige Winkel α definieren.

Für den Punkt P(x;y) auf dem Einheitskreis gilt:

sin α = y = „Hochwert“ ;    cos α = x = „Rechtswert“

Die wichtigsten Formeln für den Zusammenhang zwischen den Sinus- und Kosinuswerten für α und 180°-α ; α und 360°-α ; α und 180°+α lassen sich durch Spiegelungen an der Hochachse, an der Rechtsachse bzw. am Ursprung erkennen.

α ist nicht auf den Bereich 0° ≤ α ≤ 360° bzw. 0 ≤ αb ≤ 2π bzw. 0 ≤ x ≤ 2π beschränkt.

Dabei gilt für jede ganze Zahl k:

sin(α + k ×360°) = sin α     bzw.     sin(x + k ⋅ 2π) = sin x

cos(α + k ×360°) = cos α     bzw.     cos(x + k ⋅ 2π) = cos x

Die bisher nur für den Sonderfall 0° ≤ α ≤ 90° gültigen Formeln gelten nun für alle Winkel α.

Sinusfunktion und Kosinusfunktion

Verwendet man für den Winkel das Bogenmaß x, so sind die Sinus- und Kosinusfunktion periodisch mit der Periode 2π .

Für beide gilt:

Definitionsmenge D = IR    und

Wertemenge W = [-1 ; 1]   .

Die allgemeine Sinusfunktion

mit a ≠ 0 ; b > 0 lässt sich als abgewandelte Sinusfunktion deuten:

a bestimmt die Dehnung in y-Richtung

b bestimmt die Stauchung in x-Richtung

bestimmt die Verschiebung in x-Richtung.

Beispiel: