Einführung des Ableitungsbegriffes

Einführung des Ableitungsbegriffes

Differenzierbarkeit

Die Steigung m des Graphen von f im Punkt P(x0;y0) erhält man als Grenzwert der Sekantensteigungen ,  wenn x → x0 geht.

(In der Skizze ist die Sekante für x = 4 eingezeichnet)

Falls der Grenzwert existiert, dann ist die Funktion f an der Stelle x0 differenzierbar und man nennt diesen Grenzwert den Differentialquotienten f '(x0).

Ableitungsfunktion

Die Funktion f ' , die jedem x0 den Differentialquotienten f '(x0) zuordnet, heißt Ableitungsfunktion

f ' . Als Buchstaben für die Variable nimmt man meist wieder x, also:

Ableitungsfunktion f ':x ↦ f '(x)

Stammfunktion

Die Funktion F heißt Stammfunktion zu f, wenn im gesamten Definitionsbereich gilt: F'(x) = f (x) .

Ableitung der Grundfunktionen

Ableitungsregeln

Summenregel

Faktorregel

Produktregel

Quotientenregel

Kettenregel

Monotonie

Extremalpunkte

f '(x) < 0   ⇒ der Graph von f fällt an der Stelle x.

f '(x) = 0   ⇒ der Graph von f hat an der Stelle x eine waagrechte Tangente.

f '(x) > 0   ⇒ der Graph von f steigt an der Stelle x.

Folglich hat f bei einem Vorzeichenwechsel von f ' ein Extremum.

( von + nach - ein Maximum und bei Wechsel von - nach + ein Minimum)

Anmerkung zum Newton-Verfahren zur näherungsweisen Bestimmung von Nullstellen:

Ist xn ein Näherungswert für die Nullstelle von f, so liefert der Schnittpunkt der Tangente an f im Punkt xn mit der x-Achse einen besseren Näherungswert xn+1.

Ableitung der Exponential- und Logarithmusfunktion

Bei Verwendung der Basis e, wobei e=2,71828… lassen sich Ableitungsfunktion und

Stammfunktion besonders leicht angeben.

Wegen    gilt insbesondere  

und somit   e ln x = x    und   ln( ex ) = x  .