Die Steigung m des Graphen von f im Punkt P(x0;y0) erhält man als Grenzwert der Sekantensteigungen , wenn x → x0 geht.
(In der Skizze ist die Sekante für x = 4 eingezeichnet)
Falls der Grenzwert existiert, dann ist die Funktion f an der Stelle x0 differenzierbar und man nennt diesen Grenzwert den Differentialquotienten f '(x0).
Die Funktion f ' , die jedem x0 den Differentialquotienten f '(x0) zuordnet, heißt Ableitungsfunktion
f ' . Als Buchstaben für die Variable nimmt man meist wieder x, also:
Ableitungsfunktion f ':x ↦ f '(x)
Die Funktion F heißt Stammfunktion zu f, wenn im gesamten Definitionsbereich gilt: F'(x) = f (x) .
Extremalpunkte
f '(x) < 0 ⇒ der Graph von f fällt an der Stelle x.
f '(x) = 0 ⇒ der Graph von f hat an der Stelle x eine waagrechte Tangente.
f '(x) > 0 ⇒ der Graph von f steigt an der Stelle x.
Folglich hat f bei einem Vorzeichenwechsel von f ' ein Extremum.
( von + nach - ein Maximum und bei Wechsel von - nach + ein Minimum)
Anmerkung zum Newton-Verfahren zur näherungsweisen Bestimmung von Nullstellen:
Ist xn ein Näherungswert für die Nullstelle von f, so liefert der Schnittpunkt der Tangente an f im Punkt xn mit der x-Achse einen besseren Näherungswert xn+1.
Bei Verwendung der Basis e, wobei e=2,71828… lassen sich Ableitungsfunktion und
Stammfunktion besonders leicht angeben.
Wegen gilt insbesondere
und somit e ln x = x und ln( ex ) = x .